Гипотеза Эрдёша о единичных расстояниях: что именно произошло
Модель OpenAI построила конструкцию, которая опровергает предположение Эрдёша о числе единичных расстояний на плоскости.
Пал Эрдёш и Теренс Тао, 1985. Фото: Billy или Grace Tao / Wikimedia Commons, CC BY-SA 2.0 · источник
ChatGPT решил одну из самых известных задач Эрдёша. Что именно произошло?
Формулировка задачи
На плоскости отмечено n точек. Какое максимальное количество пар точек может находиться на расстоянии ровно 1 друг от друга?
Что предполагал Эрдёш?
Он знал конструкцию, которая даёт чуть больше линейного числа единичных расстояний: примерно n^(1+o(1)). И считал, что лучше принципиально нельзя: максимум может быть чуть больше n, но не должен расти как n^(1+δ) с фиксированным δ > 0.
Что сделал ChatGPT?
Модель OpenAI построила совсем другую конструкцию и получила именно такой рост: n^(1+δ). То есть не просто улучшила старую оценку, а перешла через качественную границу — гипотеза Эрдёша опровергнута.
Особенно красивая деталь: в доказательстве всплывает теория Голода–Шафаревича — результат из алгебраической теории чисел. За ней стоят не абстрактные «учёные из прошлого», а совсем близкая нам математическая традиция. Игорь Ростиславович Шафаревич — один из крупнейших алгебраистов XX века, профессор Мехмата МГУ. Евгений Соломонович Голод — его ученик, тоже профессор Мехмата; ещё совсем недавно студенты первых курсов учились у него высшей алгебре.
Решение точно верное?
Доказательство проверено группой внешних математиков, они опубликовали сопроводительную статью. Тимоти Гауэрс, Нога Алон и другие ведущие специалисты подтвердили результат.
Задача решена впервые?
Да. Нижняя граница не менялась с 1946 года — с момента, когда Эрдёш сам её и предложил.
Эрдёш назначил за задачу денежную премию. Вот только кому её теперь выдавать — непонятно.
